O que é álgebra linear para aprendizado de máquina?

Algoritmos poderosos e modernos de aprendizado de máquina e IA generativa, em seu núcleo, são alimentados por álgebra linear. Quer seja treinando uma rede neural, criando um sistema de recomendação ou aplicando análise de componentes principais (PCA) a um conjunto de dados complexo e de alta dimensão, os profissionais estão usando álgebra linear para realizar cálculos maciços.

Desde seus primeiros dias até os avanços recentes em deep learning, a álgebra linear tem sido onipresente no cenário do ML. Muitos modelos centrais de aprendizado de máquina são fundamentalmente expressos e resolvidos usando princípios de álgebra linear. Na prática, os dados raramente são um número simples e único; em vez disso, os dados geralmente vêm na forma de conjuntos de dados: coleções de pontos de dados muitas vezes confusos. A álgebra linear fornece as ferramentas para organizar, manipular e analisar esses dados de forma eficiente.

Ela permite que os profissionais manipulem objetos como vetores, matrizes e tensores para representar dados estruturados (geralmente dados tabulares) e dados não estruturados, como imagens ou vídeos. Esses conceitos aparentemente abstratos são a linguagem dos dados para a ciência da computação e cientistas de dados. Por exemplo, uma imagem pode ser representada como uma matriz de valores de pixels, e uma coleção de funcionalidades que descrevem uma casa (como bairro, idade e metragem quadrada) pode ser representada como um vetor em um modelo de regressão linear. A regressão linear modela a saída como uma combinação linear das funcionalidades de entrada, servindo como um exemplo clássico de como a álgebra linear funciona no mundo real.  

Em aprendizado de máquina e ciência de dados, a álgebra linear é o framework usado para descrever e trabalhar com dados. Ela explica como os números são organizados, combinados e transformados — quer seja multiplicando matrizes em redes neurais, encontrando autovalores na PCA ou reduzindo dimensões com decomposição de valor singular (SVD).  

Em seu nível mais básico, a álgebra linear oferece as ferramentas para representar e trabalhar com dados em formas estruturadas. A maioria dos fluxos de trabalho de aprendizado de máquina começa organizando dados em formatos numéricos, e cada estrutura (escalar, vetor, matriz e tensor) serve a uma finalidade diferente.

• Um escalar é o bloco de construção mais simples, que é um único valor numérico, como 5 ou 2,3. Os escalares geralmente representam parâmetros, fatores de escala ou medições únicas.
  
  
• Um vetor é uma matriz ordenada de números, geralmente escrita como uma coluna ou linha. Os vetores podem representar qualquer coisa, desde uma lista de funcionalidades descrevendo um único ponto de dados até as coordenadas de uma posição no espaço. Por exemplo, o vetor [3,5,7] pode representar o número de visitas, compras e devoluções de um cliente.
  
  
• Uma matriz é um agrupamento bidimensional de números dispostos em linhas e colunas. Um conjunto de dados em que cada linha é um ponto de dados e cada coluna é uma funcionalidade naturalmente forma uma matriz. As matrizes são fundamentais para a álgebra linear porque permitem o armazenamento eficiente de dados. Operações como multiplicação escalar (multiplicar cada elemento de uma matriz por um número constante) e multiplicação de matrizes (combinar duas matrizes para aplicar uma transformação ou calcular relações) são difundidas nos algoritmos.
  
  
• Um tensor é uma generalização de escalares, vetores e matrizes para dimensões superiores. Por exemplo, uma imagem colorida pode ser armazenada como um tensor 3D onde altura, largura e canais de cor formam três eixos separados. No deep learning, os tensores são a estrutura de dados padrão para alimentar informações em redes neurais.

O produto escalar é uma forma de multiplicar dois vetores para produzir um único escalar. É amplamente utilizado para calcular similaridades entre vetores, o que é uma etapa crucial em muitos sistemas de recomendação. A transposição de uma matriz, que inverte suas linhas e colunas, é outra operação fundamental que permite alinhar dimensões para multiplicação e descobrir padrões estruturais nos dados.

A álgebra linear permite a expressão de conjuntos de dados complexos de uma forma que os algoritmos possam entender e processar, permitindo, assim, a construção de modelos complexos usando uma infinidade de dados coletados do mundo real. 

Muitos algoritmos de aprendizado de máquina são desenvolvidos com base em um sistema de equações lineares. A regressão linear é um algoritmo simples, mas poderoso, usado para prever valores contínuos. O processo de encontrar a linha ou plano de "melhor ajuste" que minimize o erro entre os valores previstos e os valores reais muitas vezes se resume à resolução de um sistema de equações lineares. Por exemplo, ao prever os preços das casas com base na metragem quadrada e no número de quartos, deve-se encontrar coeficientes (pesos) para satisfazer equações como:

 $price=w_1*squar{e}_{f}ootage+w_2*numbe{r}_o{f}_{b}edrooms+b$

...onde  $w_1$, $w_2$ e  $b$  são os coeficientes desconhecidos a serem resolvidos. Isso pode ser representado e resolvido usando matrizes. Técnicas como "mínimos quadrados" são usadas para encontrar as soluções aproximadas para esses sistemas quando não existe uma solução exata, o que é frequentemente o caso com dados ruidosos do mundo real. Em outras palavras, a aproximação de uma função de perda é representada como uma coleção de equações lineares que foram resolvidas com cálculos.

Algoritmos mais complexos, como os encontrados em deep learning e redes neurais, dependem fortemente de operações como a multiplicação maciça de matrizes para processar informações em diferentes camadas. Cada camada em uma rede neural realiza uma transformação linear em seus dados de entrada, que é essencialmente uma transformação matricial, onde a entrada é multiplicada por uma matriz de peso. Isso permite que a rede aprenda padrões e relacionamentos complexos dentro dos dados.

Muitos conjuntos de dados do mundo real contêm um grande número de funcionalidades (ou variáveis) para cada ponto de dados: às vezes na casa das centenas, milhares ou até milhões. Isso é chamado de dados de alta dimensão. Embora possa parecer que mais funcionalidades deveriam tornar os modelos mais precisos, elas geralmente dificultam o aprendizado. Dados de alta dimensão podem ser computacionalmente caros de processar, consomem muita memória para serem armazenados e são propensos ao overfitting, onde um modelo memoriza ruído em vez de aprender padrões significativos.

Outro desafio é a maldição da dimensionalidade. Conforme o número de dimensões aumenta, os pontos de dados se tornam cada vez mais esparsos no espaço de funcionalidade, e a noção de "proximidade" entre os pontos se torna menos significativa. Essa escassez torna difícil para os algoritmos detectar relações de forma confiável. Portanto, ter as ferramentas certas para reduzir a quantidade de funcionalidades e extrair os sinais do ruído é fundamental. Redução de dimensionalidade é o processo de transformar dados de um espaço de alta dimensão em um de menor dimensão, preservando o máximo possível da estrutura original e de informações importantes. Ao reduzir o número de funcionalidades, os profissionais podem simplificar modelos, melhorar a generalização, acelerar cálculos e, muitas vezes, fazer visualizações de dados úteis.

A álgebra linear está no centro de muitas técnicas de redução de dimensionalidade. Por exemplo, a análise de componentes principais usa conceitos como autovalores e autovetores para encontrar novos eixos (componentes principais) que capturam a variância máxima nos dados, representando um atributo significativo no conjunto de dados de alta dimensão. Ao projetar os dados nos primeiros componentes principais, os profissionais mantêm os padrões mais importantes enquanto descartam as variações menos úteis.

Por exemplo, imagine um conjunto de dados descrevendo milhares de clientes com 100 funcionalidades diferentes cada (idade, renda, gastos em várias categorias de produtos etc.). Analisar todas as 100 funcionalidades de uma só vez seria lento e complexo, e muitas delas podem ser redundantes (por exemplo, o interesse em "equipamentos esportivos" geralmente se sobrepõe ao de "equipamentos para uso ao ar livre"). A PCA pode reduzir o conjunto de dados para apenas dois ou três componentes, que resumem a maior parte da variação no comportamento do cliente, facilitando a visualização e a execução de algoritmos posteriores de forma mais eficiente.

Resumindo, a redução de dimensionalidade é uma forma de destilar dados complexos em suas partes mais informativas, e a álgebra linear fornece o maquinário matemático para tornar isso possível.

Autovalores, autovetores e autocomposição juntos descrevem os modos fundamentais de comportamento de uma transformação ou sistema linear:

• Autovetor: imagine uma transformação linear (como esticar ou girar um espaço vetorial). Um autovetor de uma matriz quadrada é um vetor diferente de zero que, quando essa transformação é aplicada a ele, apenas muda por um fator escalar. Ele não muda sua direção. É uma direção especial nos dados que permanece estável sob a transformação.

• Autovalor: esse é o fator de escala pelo qual um autovetor é dimensionado. Ele informa o quanto o autovetor é esticado ou comprimido durante a transformação. Na PCA, autovalores maiores correspondem a componentes principais que capturam mais variância nos dados.

• Autocomposição: é o processo de divisão de uma matriz quadrada em um conjunto de seus autovetores e autovalores. Para uma determinada matriz, se for possível encontrar seus autovetores e autovalores, será possível reconstruir a matriz original a partir deles. Na PCA, a autocomposição da matriz de covariância dos dados permite a identificação dos componentes principais (autovetores) que melhor representam a variância dos dados, ordenados por seus autovalores correspondentes.

Outra técnica poderosa, a decomposição do valor singular (SVD), também desempenha um papel crucial na redução de dimensionalidade e é fundamental para áreas como fatoração de matrizes em sistemas de recomendação. Embora relacionada à autocomposição, a SVD pode ser aplicada a qualquer matriz (não somente matrizes quadradas) e oferece uma maneira mais geral de decompor uma matriz em suas partes constituintes, revelando estruturas subjacentes e reduzindo dimensões de forma eficaz. Por exemplo, em sistemas de recomendação, o SVD ajuda a decompor uma matriz de interação usuário-item em matrizes de menor dimensão que representam funcionalidades latentes de usuários e itens, que são, então, usadas para prever novas recomendações.

Muitos modelos de aprendizado de máquina envolvem problemas de otimização, onde o objetivo é encontrar o melhor conjunto de parâmetros para um modelo que minimize uma função de erro ou maximize uma função de probabilidade. Algoritmos como o gradiente descendente, amplamente utilizados no treinamento de redes neurais e outros algoritmos de aprendizado de máquina, dependem da álgebra linear para calcular gradientes (vetores apontando na direção da ascensão mais íngreme de uma função) e atualizar os parâmetros do modelo de forma iterativa.

Entender a otimização também significa entender as propriedades das matrizes envolvidas nesses cálculos. É aqui que conceitos como determinante e matriz de identidade se tornam relevantes. O determinante de uma matriz quadrada é um número único que fornece informações importantes sobre a matriz. Por exemplo, um determinante diferente de zero indica que a matriz é inversível (o que significa que ela tem uma operação de inversão de matriz correspondente), o que é crítico para resolver sistemas de equações lineares exclusivamente. Se o determinante for zero, o sistema pode ter nenhuma solução única ou infinitas soluções, indicando problemas como independência linear (onde um vetor em um conjunto pode ser expresso como uma combinação linear de outros). Uma matriz de identidade (uma matriz quadrada com uns na diagonal principal e zeros em outros lugares) é especial porque quando você multiplica qualquer matriz pela matriz de identidade, a matriz original permanece inalterada, agindo como o número "1" na multiplicação escalar.

A boa notícia é que os profissionais de ML não precisam realizar manualmente esses cálculos complexos. Bibliotecas como NumPy em Python fornecem funções altamente otimizadas para todos esses conceitos de álgebra linear, tornando-a o padrão de fato para computação numérica em aprendizado de máquina. Por exemplo, numpy.linalg.eig() pode calcular autovalores e autovetores, e numpy.dot() lida com produtos escalares e multiplicações matriciais com facilidade. Frameworks como o TensorFlow (popular em deep learning) também aproveitam fortemente a álgebra linear nos detalhes técnicos, abstraindo os detalhes de baixo nível para que os usuários possam se concentrar na construção de modelos.

Essa introdução à álgebra linear para aprendizado de máquina mal arranha a superfície. Conceitos como transformação linear e transformação matricial descrevem como os dados podem ser manipulados e remodelados, como por exemplo, girar uma imagem ou escalar suas funcionalidades. Entender tipos de matrizes como a matriz identidade (que deixa os vetores inalterados quando multiplicados) e a matriz ortogonal (em que a inversa é simplesmente a transposta, simplificando os cálculos) também é benéfico. Embora normalmente não se esteja realizando a eliminação gaussiana (um algoritmo para resolver o sistema de equações lineares) manualmente no ML, a compreensão de seus princípios ilumina como esses sistemas são resolvidos computacionalmente. A independência linear também é crítica para entender a singularidade das soluções e a base de um espaço vetorial (o conjunto de todas as combinações lineares possíveis de um conjunto de vetores).

Por fim, uma sólida compreensão dos conceitos de álgebra linear capacita os profissionais de ML a não apenas usar algoritmos de aprendizado de máquina criados previamente, mas também a entender verdadeiramente seu funcionamento interno, depurá-los de forma eficaz e até mesmo desenvolver novas soluções. É o carro-chefe silencioso que impulsionou o ML por décadas e continuará sendo essencial no futuro da inteligência artificial.