Se trata de una técnica sencilla pero potente para el análisis de series temporales que proporciona predicciones altamente interpretables y eficaces si sus datos contienen correlaciones a lo largo de los pasos temporales. La correlación entre pasos de tiempo se denomina autocorrelación porque es una medida de cuánto se correlaciona un valor consigo mismo. Un proceso puramente lineal se autocorrelacionará perfectamente consigo mismo a lo largo de la serie temporal, lo que permite predecir exactamente el valor siguiente a partir de los valores anteriores mediante un proceso autorregresivo. Un proceso completamente estocástico como el ruido blanco no tendrá autocorrelación, ya que no podemos predecir los valores actuales o futuros utilizando los valores pasados.

Una serie temporal es una secuencia de mediciones de la misma variable o grupo de variables realizadas a lo largo del tiempo. Las mediciones normalmente se realizan en momentos de intervalos regulares, por ejemplo, cada hora, mes o año. A modo de ejemplo, podríamos tener valores que midan el número de pasajeros de aerolíneas en un país, con mediciones observadas cada mes. En este caso, y representa el número de pasajeros medidos y enfatiza la existencia de valores medidos a lo largo del tiempo. El valor de t se aplica como subíndice en lugar del i habitual para indicar que y_t representa el valor de y en cualquier momento.

Un modelo autorregresivo es cuando hacemos una regresión de un valor de una serie temporal con valores anteriores de esa misma serie temporal. Por ejemplo, la regresión de y_t sobre y_t-1 utiliza el valor anterior de y, denominado valor rezagado, para predecir el valor actual de y. En este modelo de regresión simple, la variable dependiente del período anterior se convierte en el predictor. Los errores representan todas las suposiciones habituales sobre los errores en un modelo de regresión lineal simple. A menudo vemos el orden de una autorregresión como el número de valores anteriores de la serie que se utilizan para predecir el valor ahora. Así que, la regresión de y_t sobre y_t-1 es una autorregresión de primer orden, que se escribe AR(1).

En una regresión lineal múltiple, el resultado de la regresión es una combinación lineal de múltiples variables de entrada. En los modelos de autoregresión, el resultado es el punto de datos futuro expresado como una combinación lineal de los p puntos de datos pasados. p es el número de rezagos incluidos en la ecuación. Un modelo AR(1) se define matemáticamente como:

 $X_t=\delta +{\varphi }_1{X}_{t-1}+{\alpha }_t$

x_t-1 es el valor de la serie pasada de un rezago

φ es el coeficiente calculado para ese rezago

Alpha_t es ruido blanco (como la aleatoriedad)

Delta se define como

 $\delta =(1-\sum _p^{i=1}{\varphi }_i)\mu$

para un modelo autorregresivo de orden p, donde p es el número total de covariables calculadas para los rezagos y μ es la media del proceso.

Cuando se agregan más rezagos al modelo, agregamos más coeficientes y variables de rezago a la ecuación:

 $X_t=\delta +{\varphi }_1{X}_{t-1}+{\varphi }_2{X}_{t-2}+{\alpha }_t$

El modelo anterior es una autorregresión de segundo orden, ya que contiene dos rezagos.

La forma general de una ecuación autorregresiva para un orden p es

 $X_t=\delta +{\varphi }_1{X}_{t-1}...{\varphi }_p{X}_{t-p}+{\alpha }_t$

Para utilizar modelos autorregresivos para previsión, utilizamos el valor de tiempo actual y cualquier dato histórico para predecir el siguiente paso de tiempo. Por ejemplo, un modelo AR con dos rezagos podría predecir un único paso de tiempo hacia adelante de la siguiente manera:

 $X_{t+1}=\delta +{\varphi }_1{X}_t+{\varphi }_2{X}_{t-1}+{\alpha }_{t+1}$

Los enfoques más comunes para calcular los coeficientes de cada rezago son la estimación de máxima verosimilitud (MLE) o la estimación que utiliza mínimos cuadrados (OLS). Las mismas limitaciones que tienen estos enfoques al ajustar una regresión de un modelo lineal también están presentes al ajustar modelos autorregresivos. Dependiendo de si utiliza Python o R y la biblioteca, es posible que pueda utilizar los métodos Yule-Walker o Burg además de MLE u OLS.

Muchas bibliotecas permiten a los usuarios elegir qué criterios utilizar al seleccionar modelos de entre todos los modelos candidatos. Por ejemplo, es posible que desee utilizar los coeficientes del modelo para minimizar el criterio de información de Aikike o los criterios de información bayesianos según su caso de uso y sus datos.

La autocorrelación calcula la correlación entre una serie temporal y una versión rezagada de sí misma. El rezago es el número de unidades de tiempo para desplazar la serie temporal. Un rezago de 1 compara la serie con un paso de tiempo anterior. Un rezago de 2 lo compara con el paso de tiempo anterior a ese. El grado de autocorrelación en un rezago particular muestra la dependencia temporal de los datos. Cuando la autocorrelación es alta, existe una fuerte relación entre el valor actual y el valor en ese retraso. Cuando la autocorrelación es baja o cercana a cero, sugiere una relación débil o ninguna relación.

Un enfoque común para visualizar la autocorrelación es calcular la función de autocorrelación (ACF) o el gráfico ACF que muestra los coeficientes de autocorrelación en diferentes rezagos. 

El eje horizontal representa el rezago y el eje vertical representa los valores de autocorrelación. Los picos o patrones importantes en el gráfico de la ACF pueden revelar la estructura temporal subyacente de los datos. La selección del orden de rezago (p) en el modelo AR se basa a menudo en el análisis del gráfico ACF. En un modelo AR(p), el valor actual de la serie temporal se expresa como una combinación lineal de sus valores p pasados, con coeficientes determinados a través de OLS o MLE. La autocorrelación también se utiliza para evaluar si una serie temporal es estacionaria. En una serie temporal estacionaria, la autocorrelación debería disminuir gradualmente a medida que aumente el rezago, pero si el gráfico ACF no indica una disminución, los datos pueden contener datos no estacionarios. Puede obtener más información sobre la autocorrelación.aquí.