¿Qué es el álgebra lineal para machine learning?

Los potentes algoritmos modernos de machine learning e IA generativa, en esencia, funcionan con álgebra lineal. Ya sea entrenando una red neuronal, construyendo un sistema de recomendación o aplicando análisis de componentes principales (PCA) a un conjunto de datos complejo y de alta dimensión, los profesionales están utilizando el álgebra lineal para realizar cálculos masivos.

Desde sus primeros días hasta los avances recientes en aprendizaje profundo, el álgebra lineal ha sido omnipresente en el escenario del ML. Muchos modelos centrales de machine learning se expresan y resuelven fundamentalmente mediante principios de álgebra lineal. En la práctica, los datos rara vez son un número simple y único; en cambio, los datos a menudo vienen en forma de conjuntos de datos: colecciones de puntos de datos a menudo desordenados. El álgebra lineal proporciona las herramientas para organizar, manipular y analizar estos datos de manera eficiente.

Permite a los profesionales manipular objetos como vectores, matrices y tensores para representar datos estructurados (a menudo datos tabulares) y no estructurados, como imágenes o videos. Estos conceptos aparentemente abstractos son el lenguaje de datos para la informática y los científicos de datos. Por ejemplo, una imagen se puede representar como una matriz de valores de píxeles, y una colección de características que describen una casa (como el vecindario, la edad y los pies cuadrados) se puede representar como un vector en un modelo de regresión lineal. La regresión lineal modela la salida como una combinación lineal de las características de entrada, sirviendo como un ejemplo clásico de cómo funciona el álgebra lineal en el mundo real.  

En el machine learning y la ciencia de datos, el álgebra lineal es el marco utilizado para describir y trabajar con datos. Explica cómo se organizan, combinan y transforman los números, ya sea multiplicando matrices en una red neuronal, encontrando valores propios en PCA o reduciendo dimensiones con descomposición de valores singulares (SVD).  

En su nivel más básico, el álgebra lineal proporciona las herramientas para representar y trabajar con datos en formas estructuradas. La mayoría de los flujos de trabajo de machine learning comienzan organizando los datos en formatos numéricos, y cada estructura (escalar, vectorial, matricial y tensor) tiene un propósito diferente.

• Un escalar es el bloque de construcción más simple, que es un valor numérico único, como 5 o 2.3. Los escalares a menudo representan parámetros, factores de escala o mediciones individuales.
  
  
• Un vector es una matriz ordenada de números, generalmente escritos como una columna o fila. Los vectores pueden representar cualquier cosa, desde una lista de características que describen un único punto de datos hasta las coordenadas de una posición en el espacio. Por ejemplo, el vector [3,5,7] podría representar el número de visitas, compras y devoluciones de un cliente.
  
  
• Una matriz es una matriz bidimensional de números dispuestos en filas y columnas. Un conjunto de datos en el que cada fila es un punto de datos y cada columna es una característica que forma naturalmente una matriz. Las matrices son fundamentales para el álgebra lineal porque permiten un almacenamiento eficiente de los datos. Las operaciones como la multiplicación escalar (multiplicar cada elemento de una matriz por un número constante) y la multiplicación de matrices (combinar dos matrices para aplicar una transformación o calcular relaciones) son omnipresentes en los algoritmos.
  
  
• Un tensor es una generalización de escalares, vectores y matrices a dimensiones superiores. Por ejemplo, una imagen en color podría almacenarse como un tensor 3D donde los canales de altura, ancho y color forman tres ejes separados. En el aprendizaje profundo, los tensores son la estructura de datos estándar para introducir información en las redes neuronales.

El producto punto es una forma de multiplicar dos vectores para producir un solo escalar. Se utiliza ampliamente para calcular similitudes entre vectores, lo cual es un paso crucial en muchos sistemas de recomendación. La transposición de una matriz, que invierte sus filas y columnas, es otra operación fundamental que permite alinear dimensiones para la multiplicación y descubrir patrones estructurales en los datos.

El álgebra lineal permite la expresión de conjuntos de datos complejos de una manera que los algoritmos pueden entender y procesar, lo que permite la construcción de modelos complejos utilizando una gran cantidad de datos recopilados del mundo real. 

Muchos algoritmos de machine learning se basan en un sistema de ecuaciones lineales. La regresión lineal es un algoritmo simple, pero potente que se utiliza para predecir valores continuos. El proceso de encontrar la línea o plano de “mejor ajuste” que minimice el error entre los valores predichos y reales a menudo se reduce a resolver un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, al predecir los precios de la vivienda en función de la superficie y el número de habitaciones, se deben encontrar coeficientes (ponderaciones) para satisfacer ecuaciones como:

 $price=w_1*squar{e}_{f}ootage+w_2*numbe{r}_o{f}_{b}edrooms+b$

...donde  $w_1$, $w_2$ y  $b$  son los coeficientes desconocidos para resolver. Esto se puede representar y resolver mediante matrices. Se utilizan técnicas como los "mínimos cuadrados" para encontrar las soluciones aproximadas de estos sistemas cuando no existe una solución exacta, lo que suele ocurrir con los datos ruidosos del mundo real. En otras palabras, la aproximación de una función de pérdida se representa como una colección de ecuaciones lineales que se resuelven con cálculo.

Los algoritmos más complejos, como los que se encuentran en el aprendizaje profundo y las redes neuronales, dependen en gran medida de operaciones como la multiplicación masiva de matrices para procesar la información a través de diferentes capas. Cada capa en una red neuronal realiza una transformación en su entrada, que es esencialmente una transformación matricial donde el vector de entrada se multiplica por una matriz de ponderación. Esto permite que la red aprenda patrones y relaciones complejos dentro de los datos.

Muchos conjuntos de datos del mundo real contienen una gran cantidad de características (o variables) para cada punto de datos: a veces cientos, miles o incluso millones. Esto se denomina datos de alta dimensión. Si bien puede parecer que más características deberían hacer que los modelos sean más precisos, a menudo dificultan el aprendizaje. Los datos de alta dimensión pueden ser computacionalmente costosos de procesar, consumir mucha memoria para almacenarse y ser propensos al sobreajuste, donde un modelo memoriza el ruido en lugar de aprender patrones significativos.

Otro desafío es la maldición de la dimensionalidad. A medida que crece el número de dimensiones, los puntos de datos se vuelven cada vez más escasos en el espacio de características y la noción de "cercanía" entre puntos se vuelve menos significativa. Esta escasez dificulta que los algoritmos detecten relaciones de manera confiable. Por lo tanto, contar con las herramientas adecuadas para reducir la cantidad de características y extraer las señales del ruido es fundamental. La reducción de dimensionalidad es el proceso de transformar datos de un espacio de alta dimensión en uno de menor dimensión, conservando la mayor cantidad posible de estructura original e información importante. Al reducir el número de características, los profesionales pueden simplificar los modelos, mejorar la generalización, acelerar los cálculos y, a menudo, realizar visualizaciones de datos útiles.

El álgebra lineal está en el centro de muchas técnicas de reducción de dimensionalidad. Por ejemplo, el análisis de componentes principales utiliza conceptos como valores propios y vectores propios para encontrar nuevos ejes (componentes principales) que capturen la varianza máxima en los datos, representando un atributo significativo en el conjunto de datos de alta dimensión. Al proyectar los datos en los primeros componentes principales, los profesionales mantienen los patrones más importantes y descartan variaciones menos útiles.

Por ejemplo, imagine un conjunto de datos que describa miles de clientes con 100 características diferentes cada uno (edad, ingresos, gasto en varias categorías de productos, etc.). Analizar las 100 características a la vez sería lento y complejo, y muchas de ellas pueden ser redundantes (por ejemplo, el interés en "equipamiento deportivo" a menudo se superpone con "equipamiento para actividades al aire libre"). El PCA puede reducir el conjunto de datos a solo 2 o 3 componentes que resumen la mayor parte de la variación en el comportamiento del cliente, lo que facilita la visualización y la ejecución de algoritmos posteriores de manera más eficiente.

En resumen, la reducción de la dimensionalidad es una forma de destilar datos complejos en sus partes más informativas, y el álgebra lineal proporciona la maquinaria matemática para hacerlo posible.

Los valores propios, los vectores propios y la descomposición propia describen conjuntamente los modos fundamentales de comportamiento de una transformación o sistema lineal:

• Vector propio: imagine una transformación lineal (como estirar o rotar un espacio vectorial). Un vector propio de una matriz cuadrada es un vector distinto de cero que, cuando se le aplica esa transformación, solo cambia por un factor escalar. No cambia su dirección. Es una dirección especial en los datos que permanece estable bajo la transformación.

• Valor propio: este es el factor escalar por el cual se escala un vector propio. Le indica cuánto se estira o comprime el vector propio durante la transformación. En el PCA, los valores propios más grandes corresponden a componentes principales que capturan más varianza en los datos.

• Descomposición propia: este es el proceso de descomponer una matriz cuadrada en un conjunto de sus vectores propios y valores propios. Para una matriz dada, si uno puede encontrar sus vectores propios y valores propios, uno puede reconstruir la matriz original a partir de ellos. En el PCA, la descomposición propia de la matriz de covarianza de los datos permite identificar los componentes principales (vectores propios) que mejor representan la varianza de los datos, ordenados por sus valores propios correspondientes.

Otra técnica poderosa, la descomposición de valores singulares (SVD), también desempeña un papel crucial en la reducción de la dimensionalidad y es fundamental para áreas como la factorización de matrices en los sistemas de recomendación. Si bien está relacionado con la descomposición propia, la SVD se puede aplicar a cualquier matriz (no solo a matrices cuadradas) y ofrece una forma más general de descomponer una matriz en sus partes constituyentes, revelando estructuras subyacentes y reduciendo dimensiones de manera efectiva. Por ejemplo, en los sistemas de recomendación, la SVD ayuda a descomponer una matriz de interacción usuario-elemento en matrices de dimensiones inferiores que representan características latentes de usuarios y elementos, que luego se utilizan para predecir nuevas recomendaciones.

Muchos modelos de machine learning implican problemas de optimización, donde el objetivo es encontrar el mejor conjunto de parámetros para un modelo que minimice una función de error o maximice una función de verosimilitud. Los algoritmos como el descenso de gradiente, utilizados ampliamente en el entrenamiento de redes neuronales y otros algoritmos de machine learning, se basan en el álgebra lineal para calcular gradientes (vectores que apuntan en la dirección del ascenso más pronunciado de una función) y actualizar los parámetros del modelo de forma iterativa.

Comprender la optimización también significa comprender las propiedades de las matrices involucradas en estos cálculos. Aquí es donde conceptos como el determinante y la matriz de identidad se vuelven relevantes. El determinante de una matriz cuadrada es un único número que proporciona información crucial sobre la matriz. Por ejemplo, un determinante distinto de cero indica que la matriz es invertible (lo que significa que tiene una operación de inversión de matriz correspondiente), lo cual es crítico para resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma única. Si el determinante es cero, el sistema podría no tener una solución única o tener soluciones infinitas, lo que indica problemas como la independencia lineal (donde un vector en un conjunto puede expresarse como una combinación lineal de otros). Una matriz identidad (una matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en otros lugares) es especial porque cuando se multiplica cualquier matriz por la matriz identidad, la matriz original permanece sin cambios, actuando como el número 1 en la multiplicación escalar.

La buena noticia es que los profesionales de ML no necesitan realizar manualmente estos cálculos complejos. Las bibliotecas como NumPy en Python proporcionan funciones altamente optimizadas para todos estos conceptos de álgebra lineal, lo que la convierte en el estándar de facto para la computación numérica en el machine learning. Por ejemplo, numpy.linalg.eig() puede calcular valores propios y vectores propios, y numpy.dot() maneja productos de puntos y multiplicaciones de matrices con facilidad. Las infraestructuras como TensorFlow (popular en el aprendizaje profundo) también aprovechan en gran medida el álgebra lineal tras bambalinas, abstrayendo los detalles de bajo nivel para que los usuarios puedan centrarse en la construcción de modelos.

Esta introducción al álgebra lineal para machine learning apenas aborda una pequeña parte. Los conceptos como transformación lineal y transformación matricial describen cómo se pueden manipular y remodelar los datos, por ejemplo, rotando una imagen o escalando sus características. Comprender tipos de matrices como la matriz de identidad (que deja los vectores sin cambios cuando se multiplican) y la matriz ortogonal (donde la inversa es simplemente la transposición, simplificando los cálculos) también es beneficioso. Si bien normalmente no se realizará la eliminación gaussiana (un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales) a mano en ML, comprender sus principios aclara cómo se resuelven estos sistemas computacionalmente. La independencia lineal también es crítica para comprender la singularidad de las soluciones y la base de un espacio vectorial (el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de un conjunto de vectores).

En última instancia, una comprensión sólida de los conceptos de álgebra lineal permite a los profesionales de ML no solo utilizar algoritmos de machine learning predefinidos, sino también comprender realmente su funcionamiento interno, depurarlos de manera efectiva e incluso desarrollar soluciones novedosas. Es el caballo de batalla silencioso que ha impulsado el ML durante décadas y continuará siendo esencial en el futuro de la inteligencia artificial.