Es una técnica simple pero poderosa para el análisis de seriales temporales que proporciona predicciones altamente interpretables y efectivas si sus datos contienen correlaciones entre los pasos de tiempo. La correlación entre pasos de tiempo se denomina autocorrelación porque es una medida de cuánto se correlaciona un valor consigo mismo. Un proceso puramente lineal se autocorrelacionará perfectamente consigo mismo a lo largo del serial temporal, lo que permitirá predecir el siguiente valor exactamente a partir de valores anteriores mediante un proceso autorregresivo. Un proceso completamente estocástico, como el ruido blanco, no tendrá autocorrelación, ya que no podemos predecir los valores actuales o futuros empleando los valores pasados.

Un serial temporal es una secuencia de mediciones de la misma variable o grupo de variables realizadas a lo largo del tiempo. Las mediciones suelen realizar a intervalos regulares, por ejemplo, cada hora, mes o año. Por ejemplo, podríamos tener valores que midan el número de pasajeros de aerolíneas en un país, con mediciones observadas cada mes. En este caso, y representa los recuentos de pasajeros medidos y enfatiza la existencia de valores medidos a lo largo del tiempo. El valor de t se aplica como un subíndice en lugar de la i habitual para indicar que y_t representa el valor de y en cualquier momento.

Un modelo autorregresivo es cuando hacemos una regresión de un valor de un serial de tiempo sobre valores anteriores de ese mismo serial de tiempo. Por ejemplo, y_t regresionado en y_t-1 emplea el valor anterior de y, llamado valor rezagado, para predecir el valor actual de y. En este modelo de regression simple, la variable dependiente en el periodo de tiempo anterior se convirtió en el predictor. Los errores representan todas las suposiciones habituales sobre los errores en un modelo de regression lineal simple. A menudo consideramos el orden de una autorregresión como el número de valores anteriores en el serial empleado para predecir el valor actual. Por lo tanto, y_t regresionado en y_t-1 es una autorregresión de primer orden, que se escribe como AR(1).

En una regresión lineal múltiple, el resultado de la regresión es una combinación lineal de múltiples variables de entrada. En los modelos de autorregresión, el resultado es el punto de datos futuro expresado como una combinación lineal de los puntos de datos p anteriores. p es el número de rezagos incluidos en la ecuación. Un modelo AR(1) se define matemáticamente como:

 $X_t=\delta +{\varphi }_1{X}_{t-1}+{\alpha }_t$

x_t-1 es el valor del serial pasado de un retraso

ϕ es el coeficiente calculado para ese retraso

Alpha_t es ruido blanco (como aleatoriedad)

Delta se define como

 $\delta =(1-\sum _p^{i=1}{\varphi }_i)\mu$

para un modelo autorregresivo de orden p, donde p es el número total de covariables calculadas para los retrasos y μ es la media del proceso.

Cuando se agregan más retrasos al modelo, agregamos más coeficientes y variables de retraso a la ecuación:

 $X_t=\delta +{\varphi }_1{X}_{t-1}+{\varphi }_2{X}_{t-2}+{\alpha }_t$

El modelo anterior es una autoregresión de segundo orden, ya que contiene dos retardos.

La forma general de una ecuación autorregresiva para un orden p es

 $X_t=\delta +{\varphi }_1{X}_{t-1}...{\varphi }_p{X}_{t-p}+{\alpha }_t$

Para utilizar modelos autorregresivos para el forecasting de series de tiempo utilizamos el valor de tiempo actual y cualquier dato histórico para predecir el siguiente paso de tiempo. Por ejemplo, un modelo AR con 2 rezagos podría predecir un solo paso adelante de la siguiente manera:

 $X_{t+1}=\delta +{\varphi }_1{X}_t+{\varphi }_2{X}_{t-1}+{\alpha }_{t+1}$

Los métodos más habituales para calcular los coeficientes de cada retardo son la estimación de máxima verosimilitud (MLE) o la estimación por mínimos cuadrados (OLS). Las mismas limitaciones que tienen estos enfoques cuando se ajusta una regression de un modelo lineal están presentes también cuando se ajustan modelos autorregresivos. Dependiendo de si está empleando Python o R y la biblioteca, es posible que pueda emplear los métodos de Yule-Walker o Burg, además de MLE u OLS.

Muchas bibliotecas permiten a los usuarios seleccionar qué criterios emplear al seleccionar modelos de todos los modelos candidatos. Por ejemplo, es posible que desee emplear los coeficientes del modelo para minimizar el criterio de información de Aikike o los criterios de información bayesianos, según su caso de uso y sus datos.

La autocorrelación calcula la correlación entre un serial temporal y una versión rezagada de sí misma. El rezago es el número de unidades de tiempo para desplazar el serial temporal. Un retraso de 1 compara el serial con un paso de tiempo anterior. Un retraso de 2 lo compara con el paso de tiempo anterior a ese. El grado de autocorrelación en un rezago particular muestra la dependencia temporal de los datos. Cuando la autocorrelación es alta, existe una fuerte relación entre el valor actual y el valor en ese rezago. Cuando la autocorrelación es baja o cercana a cero, sugiere una relación débil o ninguna relación en absoluto.

Un enfoque común para visualizar la autocorrelación es calcular la función de autocorrelación (ACF) o el gráfico ACF que muestra los coeficientes de autocorrelación en diferentes retrasos. 

El eje horizontal representa el retraso y el eje vertical representa los valores de autocorrelación. Los picos o patrones significativos en el gráfico ACF pueden revelar la estructura temporal subyacente de los datos. La selección del orden de retardo (p) en el modelo AR a menudo se basa en el análisis de la gráfica ACF. En un modelo AR(p), el valor actual del serial temporal se expresa como una combinación lineal de sus valores p pasados, con coeficientes determinados a través de OLS o MLE. La autocorrelación también se emplea para evaluar si un serial temporal es estacionaria. Para un serial temporal estacionario, la autocorrelación debería disminuir gradualmente a medida que aumenta el retraso, pero si el gráfico ACF no indica una disminución, los datos pueden contener no estacionariedad. Puede obtener más información sobre la autocorrelación aquí.