機械学習のための線形代数とは

強力な最新の機械学習アルゴリズムと生成AIは、その中核として線形代数を基盤としています。ニューラル・ネットワークのトレーニング、推奨システムの構築、複雑で高次元のデータセットへの主成分分析（PCA）の適用など、実践者は線形代数を使用して膨大な計算を実行しています。

線形代数は、その初期の頃から最近のディープラーニングの進歩に至るまで、ML環境で広く使われてきました。多くのコアな機械学習モデルは、基本的に線形代数原理を使用して表現および解決されます。実際には、データが単純な1つの数値であることはほとんどありません。その代わり、データはデータセット、つまり煩雑なデータ・ポイントの集合の形式で提供されることがよくあります。線形代数では、このデータを効率的に整理、操作、分析するためのツールを提供します。

これにより、ベクトル、行列、テンソルなどのオブジェクトを操作して、構造化データ（多くの場合、表形式データ）や画像や動画などの非構造化データを表現できるようになります。これらの一見抽象的な概念は、コンピューター・サイエンスやデータサイエンティストにとってのデータ言語です。たとえば、画像はピクセル値の行列として表現でき、家を記述する特徴量の集合（地域、築年数、平方フィートなど）は、線形特徴量回帰モデルのベクトルとして表現できます。線形回帰は、アウトプットをインプットの特徴量の線形結合としてモデル化し、線形代数が現実世界でどのように機能するかを示す古典的な例となります。

機械学習とデータサイエンスにおいて、線形代数はデータの記述と処理に使用される枠組みです。ニューラル・ネットワークでの行列の乗算、PCAの固有値検出、特異値分解（SVD）を使用した次元削減などで、数値の配置、結合、変換方法を説明するためのものです。

最も基本的なレベルでは、線形代数は、構造化された形式でデータを表現し操作するためのツールを提供します。ほとんどの機械学習のワークフローは、データを数値形式に整理することから始まり、スカラー、ベクトル、行列、テンソルなどの各構造は異なる目的を果たします。

• スカラーは最も単純な構成要素で、5や2.3のような単一の数値を指します。スカラーは多くの場合、パラメータ、スケーリング係数、または単一の測定値を指します。
  
  
• ベクトルは数値の順序配列のことで、通常は列または行として記述されます。ベクトルは、単一のデータ・ポイントを記述する特徴量のリストから空間内の位置の座標まで、あらゆるものを表すことができます。例えば、ベクトル[3,5,7]は、ある顧客の訪問回数、購入回数、返品回数を表す場合があります。
  
  
• 行列は、行と列に並べられた数値の2次元配列です。各行がデータ・ポイントであり、各列が特徴量であるデータセットは、当然ながら行列を形成します。行列は、データの効率的なストレージを可能にするため、線形代数の中心的な存在です。スカラー乗算（行列のすべての要素を定数で乗算する）や行列乗算（2つの行列を組み合わせて、変換を適用したり、関係を計算したりする）などの演算は、アルゴリズム内に一般的に存在します。
  
  
• テンソルとは、スカラー、ベクトル、行列を高次元に一般化したものです。例えば、カラー画像は、高さ、幅、カラーチャネルが3つの別々の軸を形成する3Dテンソルとして保存できます。ディープラーニングにおいて、テンソルはニューラル・ネットワークに情報を投入するための標準的なデータ構造です。

内積は、2つのベクトルを乗算して1つのスカラーを生成する方法です。これは、ベクトル間の類似性を計算するために広く使用されており、多くの推奨システムでの重要なステップとなっています。行と列を反転する行列の導入操作は、乗算の次元を調整し、データ内の構造パターンを明らかにするためのもう1つの基本的な操作です。

線形代数を使用すると、アルゴリズムが理解して処理できる方法で複雑なデータセットを表現できるため、現実世界から収集された大量のデータを使用して複雑なモデルを構築することができます。

多くの機械学習アルゴリズムは、線形方程式のシステムに基づいて構築されています。線形回帰は、連続値を予測するために使用されるシンプルでありながら強力なアルゴリズムです。予測値と実際の値の間の誤差を最小限に抑える「最適な」線または平面を見つけるプロセスは、多くの場合、線形方程式を解くことに帰着します。たとえば、平方フィートとベッド数に基づいて住宅価格を予測する場合、次の式を満たすための係数（重み）を見つける必要があります。

 $price=w_1*squar{e}_{f}ootage+w_2*numbe{r}_o{f}_{b}edrooms+b$

...式中 $w_1$, $w_2$ と  $b$が解決すべき未知の係数です。これは、行列を使用して表現・解決できます。「最小二乗法」などの手法は、厳密な解が存在しない場合に、これらのシステムの近似解を見つけるために使用されます。現実世界のノイズの多いデータで頻発するケースです。言い換えると、損失関数の近似は、微積分で解く線形方程式の集合として表されます。

ディープラーニングやニューラル・ネットワークに見られるような、より複雑なアルゴリズムでは、さまざまな層を介して情報を処理するために、大規模な行列の乗算などの操作に大きく依存しています。ニューラル・ネットワークの各層は、入力データに対して線形変換を実行します。これは、本質的には、入力ベクトルに重み行列を乗算する行列変換です。これにより、ネットワークはデータ内の複雑なパターンと関係を学習できるようになります。

現実世界のデータセットの多くには、各データ・ポイントの多数の特徴量（または変数）が含まれています。その数は、数百、数千、さらには数百万に上ることもあります。これは高次元データと呼ばれます。特徴量が増えるとモデルの精度が高まりますが、特徴量が増えるとしばしば学習が困難になります。高次元データは、処理に計算コストがかかり、保管に大量のメモリが必要となるため、モデルが意味のあるパターンを学習するのではなくノイズを記憶する過剰適合が発生しやすくなります。

もう1つの課題が、次元の制限です。次元の数が増えるにつれて、データ・ポイントは特徴量空間内でますますスパースになり、ポイント間の「近接性」の概念があまり意味を成しなくなります。この疎性により、アルゴリズムが関係を確実に検知することが困難になります。したがって、特徴量の量を減らし、ノイズから信号を抽出する適切なツールを用意することが極めて重要です。次元削減とは、元の構造と重要な情報を可能な限り保持しながら、高次元空間のデータを低次元空間に変換するプロセスです。特徴量の数を減らすことで、実務者はモデルを簡素化し、一般化を改善し、計算を高速化し、多くの場合、有用なデータの可視化を行うことができます。

線形代数は、多くの次元削減手法の中核をなしています。例えば、主成分分析では、固有値や固有ベクトルなどの概念を使って、データ内の最大分散を捉える新しい軸（主成分）を見つけ、高次元データセットの意味のある属性を表します。データを最初のいくつかの主コンポーネントに投影することにより、実践者は最も重要なパターンを維持しながら、それほど有用ではないバリエーションを破棄します。

たとえば、それぞれ100の異なる特徴量（年齢、収入、さまざまなカテゴリーでの支出など）を持つ数千人の顧客を記述するデータセットを想像してください。100個の特徴量をすべて一度に分析するのは時間がかかり、複雑で、しばしば冗長である場合もあります（例えば、「スポーツ用品」への関心は、「アウトドア用品」と重なっていることがよくあります）。PCAは、データセットをわずか2または3のコンポーネントに削減することで、顧客行動のバリエーションのほとんどを要約できるため、下流工程でのアルゴリズムの視覚化と実行を効率化できます。

つまり、次元削減とは複雑なデータを最も情報に富んだ部分に蒸留する方法であり、線形代数はそれを可能にする数学的機械を提供するのです。

固有値、固有ベクトル、固有分解は、線形変換またはシステムの基本的な動作モードを指します。

• 固有ベクトル：線形変換（ベクトル空間の延長や回転など）を想像してください。正方行列の固有ベクトルは、その変換が適用されるとスカラー係数でのみ変化する非ゼロベクトルです。その方向性は変わりませんこれは、変換しても安定したデータの特別な方向性です。

• 固有値：固有ベクトルがスケーリングされるスカラー係数。これは、変換中に固有ベクトルがどの程度拡張または圧縮されるかを示します。PCAでは、より大きな固有値は、データのより多くの分散を捉える主要コンポーネントに対応します。

• 固有値分解：正方行列を固有ベクトルと固有値の集合に分解するプロセス。特定の行列について、その固有ベクトルと固有値を見つけることができれば、それらから元の行列を再構成できます。PCAでは、データの共分散行列の固有分解によって、データの分散を最もよく表すコンポーネント（固有ベクトル）を、対応する固有値によって順序付けして特定することができます。

もう一つの強力な手法である特異値分解（SVD）もまた、次元削減において重要な役割を果たしており、推奨システムにおける行列分解などの分野の基礎となっています。SVDは固有分解に関連していますが、（正方行列だけでなく）あらゆる行列に適用でき、行列をその構成要素に分解するより一般的な方法を提供し、基盤となる構造を明らかにし、次元を効果的に縮小します。たとえば推奨システムでは、SVDは、ユーザーとアイテムのインタラクションに関する行列を、ユーザーとアイテムの潜在的な特徴を表す低次元行列に分解するのに役立ちます。これによって、新しい推奨事項を予測することができます。

多くの機械学習モデルには最適化問題が含まれており、その目標は誤差関数を最小化するか、尤度関数を最大化するモデルに最適なパラメーターのセットを見つけることです。ニューラル・ネットワークやその他の機械学習アルゴリズムのトレーニングで広く使用されている勾配降下法などのアルゴリズムは、線形代数を利用して勾配 (関数の最も急な上昇の方向を指すベクトル) を計算し、モデル・パラメータを反復的に更新します。

最適化を理解するには、これらの計算に含まれる行列の特性を理解することも必要です。ここは行列式や恒等行列といった概念が関係します。正方行列の決定要因は、行列に関する重要な情報を提供する1つの数値です。例えば、非ゼロの行列式は、行列が可逆である（対応する行列の逆行列演算があることを意味する）ことを示しており、これはクリティカルに線形方程式のシステムを一意に解くために重要です。決定要因がゼロの場合、システムには一意の解がないか、無限に多くの解がある可能性があり、線形独立性（セット内の1つのベクトルが他のベクトルの線形結合として表現できる）などの問題を示しています。恒等行列（主対角線に1があり、他の行列にゼロがある正味行列）は、任意の行列を恒等行列で乗算すると、元の行列は変更されないまま、スカラー乗算の「1」のように動作するため、特別な役割を果たします。

幸いなことに、MLの実務者はこれらの複雑な計算を手動で実行する必要がなくなりました。PythonのNumPyのようなライブラリは、これらすべての線形代数概念に対して高度に最適化された関数を提供し、機械学習における数値コンピューティングの事実上の標準となっています。たとえば、 Numpy.linalg.eig()は固有値と固有ベクトルを計算し、numpy.dot()は内積や行列の乗算を簡単に処理できます。TensorFlow（ディープラーニングで人気）のようなフレームワークも、内部で線形代数を大きく活用し、低レベルの詳細を抽象化するため、ユーザーはモデルの構築に集中できます。

この機械学習のための線形代数の入門は、ほんの表面をなぞったものです。トランスフォーメーションや行列トランスフォーメーションなどの概念は、画像の回転や特徴量のスケーリングなど、データを操作したり再形成したりする方法を説明します。恒等行列（乗算してもベクトルが変更されない）や直交行列（その逆数が単に転用され、計算を簡素化する）などの行列の種類を理解することも有益です。通常、MLで手動でガウス排除（線形方程式を解くためのアルゴリズム）を実行することはありませんが、その原理を理解することで、これらのシステムが計算的にどのように解決されるかを明らかにできます。クリティカルな線形独立性は、ソリューションの一意性やベクトル空間の基礎（一連のベクトルの可能なすべての線形組み合わせセット）を理解するためにも重要です。

最終的には、線形代数の概念をしっかりと理解することで、MLの実践者は、事前に構築された機械学習アルゴリズムを使用するだけでなく、内部の仕組みを真に理解し、効果的にデバッグし、新しいソリューションを開発することまでもができるようになります。これは、何十年にもわたってMLを推進してきたサイレント・ワークホールであり、人工知能の将来において不可欠であり続けるでしょう。