نماذج الانحدار الذاتي ونماذج المتوسط المتحرك هما طريقتان مختلفتان للتنبؤ ببيانات السلاسل الزمنية. وتجمع نماذج ARIMA بين هذين النهجين، ومن هنا جاءت تسميته. التنبؤ هو فرع من فروع التعلم الآلي يعتمد على تحليل السلوك السابق للسلسلة الزمنية للتنبؤ بقيمة أو أكثر من القيم المستقبلية لهذه السلسلة. تخيل أنك تشتري الآيس كريم لتجهيز متجر صغير. إذا كنت تعلم أن مبيعات الآيس كريم تزداد باستمرار مع ارتفاع درجات الحرارة، فمن المحتمل أن تتوقع أن تكون طلبية الأسبوع القادم أكبر قليلًا من طلبية هذا الأسبوع. ويجب أن يعتمد مقدار الزيادة على مقدار الاختلاف بين مبيعات هذا الأسبوع ومبيعات الأسبوع الماضي. لا يمكننا التنبؤ بالمستقبل دون ماضٍ يمكن مقارنته به؛ لذا فإن بيانات السلاسل الزمنية السابقة مهمة جدًا لنماذج ARIMA ولجميع طرق التنبؤ وتحليل السلاسل الزمنية.

تُعَد نماذج ARIMA أحد أكثر الأساليب استخدامًا للتنبؤ بالسلاسل الزمنية ويمكن استخدامها بطريقتين مختلفتين اعتمادًا على نوع بيانات السلاسل الزمنية التي تعمل معها. في الحالة الأولى، أنشأنا نموذج ARIMA غير الموسمي الذي لا يحتاج إلى مراعاة الموسمية في بيانات السلاسل الزمنية الخاصة بك. نتنبأ بالمستقبل ببساطة بناءً على الأنماط الموجودة في البيانات السابقة. في الحالة الثانية، نراعي الموسمية وهي دورات منتظمة تؤثِّر في السلاسل الزمنية. يمكن أن تكون هذه الدورات يومية أو أسبوعية أو شهرية وتساعد على تحديد الأنماط في البيانات السابقة للسلاسل الزمنية التي يمكن استخدامها للتنبؤ بالقيم المستقبلية. مثل الكثير من علوم البيانات، فإن أساس التنبؤ هو الحصول على بيانات سلاسل زمنية جيدة لتدريب نماذجك. السلسلة الزمنية هي تسلسل مرتَّب من قياسات أحد المتغيِّرات على فترات زمنية متساوية. من المهم أن نتذكر أن ليس كل مجموعات البيانات التي تحتوي على عنصر زمني تُعتبر بيانات سلسلة زمنية، إذ يتطلب الأمر فترات زمنية متساوية.

في عام 1970، اقترح الإحصائيان جورج بوكس وجويليم جينكينز ما أصبح يُعرف باسم طريقة بوكس-جينكينز لملاءمة أي نوع من نماذج السلاسل الزمنية.¹ يبدأ النهج بافتراض أن العملية التي أدت إلى إنتاج السلسلة الزمنية يمكن تقريبها باستخدام نموذج، بشرط أن تكون هذه السلسلة الزمنية مستقرة. ويتكون النهج من أربع خطوات:

التحديد: تقييم إذا ما كانت السلسلة الزمنية ثابتة، وإذا لم تكن كذلك، فكم عدد الفروق المطلوبة لجعلها ثابتة. ثم إنشاء بيانات مختلفة للاستخدام في المخططات التشخيصية. تحديد مَعلمات نموذج ARMA للبيانات من الارتباط التلقائي والارتباط التلقائي الجزئي.

التقدير: استخدام البيانات لتدريب مَعلمات النموذج (أي المعامِلات).

الفحص التشخيصي: تقييم النموذج المجهز في سياق البيانات المتاحة والتحقق من المجالات التي يمكن تحسين النموذج فيها. على وجه الخصوص، يتضمن ذلك التحقق من التجهيز الزائد وحساب الأخطاء المتبقية.

التنبؤ: الآن بعد أن أصبح لديك نموذج، يمكنك البدء بالتنبؤ بالقيم باستخدام نموذجك.

بمجرد التأكد من أن نموذجك يناسب بياناتك بشكل صحيح، فأنت مستعد لبدء التنبؤ باستخدام نموذج ARIMA. سنتناول كل خطوة من هذه الخطوات بالتفصيل.

يمكن أن تكون السلسلة الزمنية ثابتة أو غير ثابتة. تحتوي السلسلة الزمنية الثابتة على خصائص إحصائية ثابتة بمرور الوقت، وهذا يعني أن الإحصائيات مثل المتوسط والتباين والارتباط الذاتي لا تتغير عبر البيانات. تعتمد معظم طرق التنبؤ الإحصائي -بما في ذلك ARMA وARIMA- على افتراض أنه يمكن جعل السلسلة الزمنية ثابتة تقريبًا من خلال تحول واحد أو أكثر، ومن السهل نسبيًا التنبؤ بالسلسلة الثابتة؛ لأنه يمكنك ببساطة التنبؤ بأن الخصائص الإحصائية ستكون هي نفسها تقريبًا في المستقبل كما كانت في الماضي، العمل مع البيانات غير الثابتة ممكن ولكنه صعب مع نهج مثل ARIMA.

من السمات الرئيسية لبيانات السلاسل الزمنية هي إذا ما كان التوجه ظاهرًا في البيانات أم لا، على سبيل المثال، ستُظهر أسعار السلع الأساسية في أحد متاجر البقالة خلال الخمسين عامًا الماضية اتجاهًا؛ لأن التضخم سيؤدي إلى ارتفاع هذه الأسعار. قد يكون التنبؤ بالبيانات التي تحتوي على اتجاهات أمرًا صعبًا لأن الاتجاه يحجب الأنماط الأخرى في البيانات. إذا كانت البيانات تحتوي على خط توجه ثابت تعود إليه باستمرار فقد تكون ثابتة الاتجاه، وفي هذه الحالة يمكن إزالة الاتجاه بمجرد تركيب خط اتجاه وطرح الاتجاه من البيانات قبل تركيب نموذج له، أما إذا لم تكن البيانات ثابتة الاتجاه، فقد تكون ثابتة في الفرق، وفي هذه الحالة يمكن إزالة الاتجاه عن طريق التمييز. إن أبسط طريقة للتمييز هي طرح القيمة السابقة من كل قيمة للحصول على مقياس لمقدار التغيير الموجود في بيانات السلاسل الزمنية، فعلى سبيل المثال: إذا كان ‎Y_t هو قيمة السلسلة الزمنية Y خلال الفترة t، فالفرق الأول للقيمة Y في الفترة t يساوي Y_t‏-Y_t-1.

يمكننا هنا رؤية مخطط لسلسلة زمنية غير ثابتة. ولديها اتجاه صعودي واضح ويُظهِر الموسمية.

الموسمية هنا هي دورة منتظمة مدتها 12 شهرًا. ويمكن معالجة ذلك باختلاف السلاسل الزمنية بمقدار 12 وحدة بحيث نفرق بين أبريل 1990 وأبريل 1989. بعد أن نطبق الاختلاف بفارق 12 وحدة على السلسلة الزمنية، يمكننا أن نرى سلسلة زمنية أكثر ثباتًا. لا يزال تباين هذه السلسلة الزمنية يتغير ولكن يمكن أن يكون نموذج ARIMA مناسبًا لهذه السلسلة الزمنية والتنبؤات التي تم إجراؤها باستخدامه.

يمكن أن يكون الثبات أمرًا مربكًا، على سبيل المثال، السلاسل الزمنية التي لها سلوك دوري ولكن ليس لها اتجاه أو موسمية تظل ثابتة. طالما أن الدورات ليست ذات طول ثابت، فعندما نراقب السلسلة لا يمكننا معرفة مكان حدوث القمم والقيعان في الدورات. وبشكل عام فإن السلسلة الزمنية الثابتة لن تكون لها أنماط يمكن التنبؤ بها على المدى الطويل. إذا كنت سترسم بيانات السلاسل الزمنية في مخطط خطي، فستبدو تقريبًا أفقية مع تباين ثابت ودون ارتفاعات أو انخفاضات كبيرة.

يمكننا معرفة درجة ارتباط السلسلة الزمنية بقيمها السابقة عن طريق حساب الارتباط الذاتي. يمكن أن يساعد حساب الارتباط الذاتي في الإجابة عن أسئلة تتعلق بعشوائية البيانات ومدى ارتباط كل قيمة مع القيمة المجاورة لها. يمكن أن يعطينا ذلك فكرة عن نوع النموذج الذي قد يمثِّل البيانات على أفضل وجه. غالبًا ما يتم رسم الارتباطات الذاتية لمعرفة الارتباط بين النقاط، بما في ذلك وحدة الفجوة.

يتم تعريف كل فجوة في الارتباط الذاتي على النحو التالي:

 $r_k=\frac{\sum _{T=k+1}^T(Y_T-\overline{Y})-(Y_T-k-\overline{Y})}{\sum _{T=1}^T(Y_T-\overline{Y}{)}^2}$

يمثِّل r أي فجوة في الارتباط الذاتي، وT هو طول السلسلة الزمنية، وy هي قيمة السلسلة الزمنية. تُكوِّن معاملات الارتباط التلقائي دالة الارتباط الذاتي والتي يُشار إليها بالاختصار ACF.

في دالة الارتباط الذاتي (ACF)، يكون معامل الارتباط على المحور الأفقي (X)، في حين يُعرض عدد الفجوات الزمنية (المعروف بترتيب الفجوة) على المحور العمودي (Y). يمكن إنشاء مخطط الارتباط التلقائي في python باستخدام plot_acf من مكتبة النماذج الإحصائية ويمكن إنشاؤه في R باستخدام الدالة acf.

في مخطط ACF للسلسلة الزمنية التي تم حسابها بفارق زمني 12 وحدة، يظهر أن الارتباط عند التأخير صفر مثالي مع نفسه. التأخير الأول سالب، التأخير الثاني موجب قليلاً، التأخير الثالث سالب، وهكذا. ستلاحظ أن التأخير الثاني عشر يرتبط ارتباطًا وثيقًا بنفسه. ونظرًا لأننا كنا ننظر إلى البيانات الشهرية، فهذا أمر منطقي. يمكننا ملاحظة أن الارتباط الذاتي يحافظ على الدورة نفسها تقريبًا طوال السلسلة الزمنية، وهو مؤشر على أن السلاسل الزمنية لا تزال تحتوي على موسمية كبيرة. تُعَد مخططات ACF مفيدة أيضًا للمساعدة على استنتاج مَعلمات نموذج ARIMA التي تناسب هذه البيانات على أفضل وجه.

من المخططات المهمة الأخرى في التحضير لاستخدام نموذج ARIMA على بيانات السلاسل الزمنية دالة الارتباط الذاتي الجزئي. يشرح مخطط دالة الارتباط الذاتي (ACF) العلاقة بين yt و‎y_t−k لقيم مختلفة من k. إذا كانت y_t وy_t−1 مرتبطتين، فستكون y_t−1 وy_t−2 مرتبطتين أيضًا. ومن الممكن أيضًا أن يكون كلٌّ من yt وyt−2 مرتبطتين لأن كلتيهما مرتبطة بـ y_t−1، وليس لأن هناك معلومات جديدة في y_t−2 التي يمكن استخدامها في التنبؤ بقيمة y_t. وللتغلب على هذه المشكلة، يمكننا استخدام الارتباطات الذاتية الجزئية لإزالة عدد من ملاحظات التأخير. تقيس هذه القياسات العلاقة بين y_t وy_t−k بعد إزالة تأثيرات التأخيرات من 1 إلى k. لذلك يكون الارتباط الذاتي الجزئي الأول مطابقًا للارتباط الذاتي الأول؛ لأنه لا شيء بينهما لإزالته. يمكن تقدير كل ارتباط ذاتي جزئي على أنه المُعامل الأخير في نموذج الانحدار الذاتي.

سواء أكنت تعمل باستخدام R أو Python أو لغة برمجة أو مكتبة أخرى، ستكون لديك طريقة لحساب PACF وإنشاء مخطط PACF لسهولة الفحص. يمكن إنشاء مخطط الارتباط الذاتي في لغة python باستخدام plot_pacf من مكتبة النماذج الإحصائية ويمكن إنشاؤه في R باستخدام الدالة pacf.

يستخدم مخطط PACF البيانات نفسها المستخدمة في مخطط ACF أعلاه. يبدأ مخطط PACF من 1 بدلًا من 0 كما في مخطط ACF، ويُظهر ارتباطات قوية حتى التأخير 1.0، والتي ترتبط بالشهر نفسه من السنة السابقة. بعد تلك السنة الأولى، نرى انخفاضًا في مقدار الارتباط التلقائي مع زيادة عدد فترات التأخير. ونظرًا لأننا كنا ننظر إلى بيانات شهرية ذات تباين يتغير من عام إلى آخر، فهذا أمر منطقي.

كما يشير اسمه، فإن الاختصار ARIMA يجمع بين نموذجي الانحدار الذاتي والمتوسط المتحرك في نموذج واحد اعتمادًا على المَعلمات التي تم تمريرها. ترتبط هاتان الطريقتان لنمذجة التغيير عبر السلسلة الزمنية ولكن بينهما بعض الاختلافات الرئيسية. في نموذج الانحدار الذاتي، نتنبأ بالمتغير المطلوب باستخدام تركيبة خطية من القيم السابقة للمتغير. يشير مصطلح الانحدار الذاتي إلى أنه انحدار للمتغير ضد نفسه. تشبه هذه التقنية نموذج الانحدار الخطي في كيفية استخدام القيم السابقة كمدخلات للانحدار. يتم تعريف الانحدار الذاتي على النحو التالي:

 $Y_T=C+{\varphi }_1{Y}_{T-1}+{\varphi }_2{Y}_{T-2}+...{\varphi }_q{Y}_{T-q}+{ϵ}_T$

حيث_εt تمثِّل ضوضاء بيضاء. هذا يشبه الانحدار المتعدد ولكن بقيم متخلفة من _yt كمتنبئات. نشير إلى ذلك بنموذج AR (p)، وهو نموذج انحدار ذاتي من الرتبة p.

من ناحية أخرى، يستخدم نموذج المتوسط المتحرك أخطاء التنبؤ السابقة بدلًا من استخدام القيم السابقة لمتغير التنبؤ في الانحدار. يقوم المتوسط المتحرك ببساطة بحساب متوسط قيم k في نافذة، حيث k هو حجم نافذة المتوسط المتحرك، ثم يتم تحريك النافذة. يتم تقييم قيم التنبؤ باستخدام القيم الفعلية لتحديد الخطأ في كل خطوة في السلسلة الزمنية. يتم تعريف المتوسط المتحرك على النحو التالي:

 $Y_T=C+{ϵ}_T+{\theta }_1{ϵ}_{T-1}+{\theta }_2{ϵ}_{T-2}+...{\theta }_q{ϵ}_{T-q}$

يمثِّل _εt ضوضاء بيضاء. نشير إلى هذا على أنه نموذج MA (q)، وهو نموذج المتوسط المتحرك من الدرجة q. بالطبع، نحن لا نلاحظ قيم ε_t؛ لذلك فهو ليس في الحقيقة انحدارًا بالمعنى المعتاد. لاحظ أن كل قيمة لـ y_t يمكن اعتبارها متوسطًا متحركًا مرجحًا لأخطاء التنبؤ القليلة الماضية.

عادةً في نموذج ARIMA، ستستخدم مصطلح الانحدار الذاتي (AR) أو مصطلح المتوسط المتحرك (MA). غالبًا ما يتم استخدام مخطط ACF ومخطط PACF لتحديد أيٍّ من هذه المصطلحات هو الأنسب.

بمجرد تحويل السلسلة الزمنية إلى حالة ثابتة وتحديد طبيعة الارتباطات الذاتية، من الممكن ملاءمة نموذج ARIMA. هناك 3 مَعلمات رئيسية لنموذج ARIMA والتي يُشار إليها عادةً بالأحرف p وd وq.

p: رتبة الجزء الانحداري الذاتي من ARIMA 

d: درجة الاختلاف المعنية

q: رتبة جزء المتوسط المتحرك

تتم كتابتها عادةً بالترتيب التالي: ARIMA(p, d, q). ستوفر العديد من لغات البرمجة والحزم وظيفة ARIMA التي يمكن استدعاؤها مع السلاسل الزمنية المُراد تحليلها وهذه المَعلمات الثلاث. غالبًا ما يتم تقسيم البيانات إلى مجموعة تدريب ومجموعة اختبار ليتم التمكُّن من اختبار دقة النموذج بعد تدريبه. عادةً، لا يمكن تحديد القيم المناسبة لكلٍّ من p وq فقط من خلال النظر إلى مخطط زمني. ومع ذلك، من الممكن في كثير من الأحيان استخدام مخططات ACF وPACF لتحديد القيم المناسبة لكلٍّ من p وq، وبالتالي فإن هذه المخططات هي مصطلحات مهمة للعمل مع ARIMA 

المعيار التقريبي لاستخدام مصطلحات الانحدار الذاتي (AR) في النموذج هو في الحالات التالية:

• إذا أظهرت مخططات ACF تناقص الانحدار الذاتي باتجاه الصفر
• إذا انخفض مخطط PACF بسرعة باتجاه الصفر
• إذا أظهر مخطط ACF لسلسلة زمنية ثابتة ارتباطًا موجبًا عند التأخير 1

المعيار التقريبي لاستخدام مصطلحات MAS في النموذج هو في الحالات التالية:

• إذا كان هناك ارتباط ذاتي سلبي عند (التأخير - 1)
• إذا انخفض ACF بشكل حاد بعد بضعة تأخيرات
• إذا انخفض PACF تدريجيًا وليس فجأة

هناك بعض الأنواع الكلاسيكية لنماذج ARIMA التي قد تصادفها.

ARIMA(1,0,0) = نموذج الانحدار الذاتي من الدرجة الأولى: إذا كانت السلسلة ثابتة ومترابطة ذاتيًا، فقد يمكن التنبؤ بها باعتبارها مضاعفًا لقيمتها السابقة، مضافًا إليها ثابت. إذا كان من الممكن التنبؤ بمبيعات الآيس كريم ليوم غد مباشرةً باستخدام مبيعات اليوم فقط، فهذا يُعتبر نموذج انحدار ذاتي من الدرجة الأولى.

ARIMA(0,1,0) = المشي العشوائي: إذا لم تكن السلسلة الزمنية ثابتة، فإن أبسط نموذج ممكن لها هو نموذج المشي العشوائي. يختلف نموذج المشي العشوائي عن قائمة الأرقام العشوائية؛ لأن القيمة التالية في التسلسل هي تعديل للقيمة السابقة في التسلسل. غالبًا ما تكون هذه هي الطريقة التي نمثِّل بها القيم المختلفة لأسعار الأسهم.

ARIMA(1,1,0) = نموذج الانحدار الذاتي من الدرجة الأولى المختلف: إذا كانت أخطاء نموذج المشي العشوائي مترابطة ذاتيًا، فربما يمكن حل المشكلة بإضافة فارق زمني واحد للمتغير التابع إلى معادلة التنبؤ - أي بانحدار الفرق الأول لقيمة Y على نفسه متأخرًا بفترة واحدة. 

ARIMA(0,1,1) دون ثابت = نماذج التسوية الأسية البسيطة: يُستخدم هذا النموذج لبيانات السلاسل الزمنية دون موسمية أو اتجاه. وهو يتطلب مَعلمة تجانس واحدة تتحكم في معدل التأثير من الملاحظات السابقة (المُشار إليها بقيمة مُعامل بين 0 و1). في هذا الأسلوب، تعني القيم الأقرب إلى 1 أن النموذج لا يولي اهتمامًا كبيرًا للملاحظات السابقة، بينما تنص القيم الأصغر على أخذ المزيد من التاريخ في الاعتبار خلال إجراء التنبؤات.

ARIMA(0,1,1) ثابت = نماذج التجانس الأسي البسيطة مع النمو. هذا النموذج هو نموذج التجانس الأسي البسيط نفسه باستثناء أن هناك حدًا ثابتًا مضافًا يجعل قيمة Y للسلسلة الزمنية تنمو مع تقدمها.

بالطبع، هناك العديد من الطرق الأخرى التي يمكن من خلالها ضبط نماذج ARIMA؛ ولهذا السبب غالبًا ما نقوم بحساب نماذج متعددة ومقارنتها لمعرفة أيها سيوفر أفضل توافق مع بياناتنا. كل هذه النماذج هي نماذج من الدرجة الأولى، ما يعني أنها ترسم العمليات الخطية. وهناك نماذج من الدرجة الثانية تقوم بتعيين العمليات التربيعية والنماذج الأعلى التي تحدِّد العمليات الأكثر تعقيدًا.

عادةً ما يتم ضبط نماذج ARIMA متعددة على البيانات ومقارنتها ببعضها للعثور على النموذج الذي يتنبأ بأفضل الأنماط التي تظهر في بيانات السلاسل الزمنية. هناك ثلاثة مقاييس رئيسية لتقييم دقة نموذج ARIMA:

معيار معلومات Akaike أو اختصارًا (AIC). يُستخدَم هذا على نطاق واسع لاختيار المتنبئين لنماذج الانحدار، وهو مفيد أيضًا لتحديد رتبة نموذج ARIMA. يُحدِّد معيار AIC كلًّا من جودة ملاءمة النموذج وبساطة/اختصار النموذج في إحصائية واحدة. درجة AIC الأقل تُعتبر أفضل من الدرجة الأعلى؛ لذا نفضِّل النموذج الذي يمتلك درجة أقل. يُفضِّل AIC النماذج الأبسط، بينما تحصل النماذج الأكثر تعقيدًا على درجات أعلى طالما كانت دقتها تقريبًا مماثلة لدقة النموذج الأبسط. هناك أيضًا AIC أو AICC المصحح الذي يتضمن تعديلًا بسيطًا بناءً على حجم العينة.

معيار معلومات بايزي أو اختصارًا (BIC). هو معيار آخر لاختيار النموذج الذي يفرض عقوبة أكبر على التعقيد مقارنةً بمعيار AIC. وكما هو الحال مع AIC، فإن النماذج ذات القيم المنخفضة في BIC تُفضَّل عمومًا على النماذج ذات القيم الأعلى. إذا كان نموذجك سيُستخدَم للتنبؤ على المدى الطويل، فقد يكون معيار BIC مفضلًا، في حين أن التنبؤ على المدى القصير قد يعني أن AIC هو الأفضل.

قيمة السيجما تربيع أو σ² هي تباين بقايا النموذج. يصف مصطلح سيجما تقلب العملية المفترَضة. إذا كانت لديك بيانات شديدة التقلب ولكن درجة تربيع سيجما منخفضة جدًا، أو على العكس من ذلك بيانات غير متقلبة ولكن درجة تربيع سيجما عالية، فهذه علامة على أن النموذج لا يلتقط عملية توليد البيانات الفعلية بشكل جيد.

إذا أوقفنا مجموعة بيانات الاختبار، فيمكننا أيضًا مقارنة مقاييس الدقة مثل RMSE لفترات تنبؤ مختلفة. يمكن لنموذج ARIMA التنبؤ بالقيم لخطوة زمنية واحدة في المستقبل أو لخطوات متعددة في وقت واحد.

إحدى الطرق الأخرى لتكوين ومقارنة نماذج ARIMA هي استخدام Auto-ARIMA، الذي يطبِّق مهام التكوين التلقائي لإنشاء نماذج ARIMA ومقارنتها. هناك طرق متعددة للوصول إلى النموذج الأمثل. ستقوم الخوارزمية بإنشاء نماذج متعددة وستحاول تقليل AICc وخطأ تقدير الاحتمالية القصوى للحصول على نموذج ARIMA.

المتوسط المتحرك المتكامل الموسمي ذاتي الانحدار، المعروف باسم SARIMA أو Seasonal ARIMA، هو امتداد لنموذج ARIMA يدعم بيانات السلاسل الزمنية بمكون موسمي. لتحقيق ذلك، يضيف النموذج ثلاث مَعلمات فائقة جديدة لتحديد الانحدار الذاتي، والاختلاف، والمتوسط المتحرك للمكون الموسمي من السلسلة، بالإضافة إلى مَعلمة إضافية لفترة الموسمية. عادةً ما يتم التعبير عنه بالصيغة SARIMA((p,d,q),(P,D,Q))، حيث تشير الأحرف الصغيرة إلى المكون غير الموسمي للسلسلة الزمنية وتشير الأحرف الكبيرة إلى المكون الموسمي

تُستخدَم نماذج الانحدار الذاتي المتجه (أو نماذج VAR) للسلاسل الزمنية متعددة المتغيرات. ويتم تنظيم ترتيبها بحيث يكون كل متغير بمثابة دالة خطية للمتغيرات المتباطئة السابقة لنفسه وللمتغيرات المتباطئة السابقة للمتغيرات الأخرى.

تُعَد نماذج ARIMA أداة قوية لتحليل بيانات السلاسل الزمنية لفهم العمليات السابقة وكذلك للتنبؤ بالقيم المستقبلية لسلسلة زمنية. تجمع نماذج ARIMA بين نماذج الانحدار الذاتي ونماذج المتوسط المتحرك لمنح المتنبئ أداة ذات مَعلمات عالية يمكن استخدامها مع مجموعة متنوعة من بيانات السلاسل الزمنية.