Die Optimierungsmodellierung ist ein mathematischer Ansatz, der dazu dient, die beste Lösung für ein Problem aus einer Reihe möglicher Optionen zu finden, wobei bestimmte Einschränkungen und Ziele berücksichtigt werden. Sie ist ein leistungsfähiges Werkzeug, das in verschiedenen Bereichen wie etwa Unternehmensforschung, Ingenieurwesen, Wirtschaft, Finanzen, Logistik und noch anderen eingesetzt wird. Durch die Optimierung der Ressourcenzuweisung, der Produktionsprozesse oder der Logistik kann die mathematische Optimierungsmodellierung die Kosten senken und die betriebliche Effizienz der Arbeitsabläufe verbessern.
Darüber hinaus verbessert die Optimierungsmodellierung die strategische Planung und langfristige Entscheidungsfindung. Sie bietet Unternehmen die Möglichkeit, verschiedene Szenarien und Alternativen zu bewerten und die potenziellen Folgen verschiedener Entscheidungen zu verstehen, bevor sie diese umsetzen. Dies kann besonders in Branchen wie dem Finanzwesen wertvoll sein, wo die Portfolio Optimization zu besseren Anlagestrategien führen kann.
Decision Optimization kann eine entscheidende Rolle dabei spielen, Unternehmen dabei zu unterstützen, die richtigen Maßnahmen zu ergreifen, um den Unternehmenswert zu steigern.
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Optimierungsmodelle sollen Organisationen und Einzelpersonen dabei helfen, fundierte Entscheidungen zu treffen, indem sie eine Zielfunktion maximieren oder minimieren und dabei bestimmte Einschränkungen einhalten.
Zielfunktionen sind die mathematischen Ausdrücke, die definieren, was Sie maximieren möchten (z. B. Gewinn, Umsatz, Effizienz) oder minimieren möchten (z. B. Kosten, Verschwendung, Zeit). Die Zielfunktion ist der Kern des Optimierungsproblems.
Entscheidungsvariablen sind die Variablen, die Sie steuern oder anpassen können, um das Ergebnis zu beeinflussen. Sie werden in der Regel durch Symbole dargestellt und unterliegen bestimmten Einschränkungen. Diese Einschränkungen sind mathematische Ausdrücke, die die Werte oder Beziehungen zwischen den Entscheidungsvariablen begrenzen. Einschränkungen stellen reale Beschränkungen dar, wie z. B. die Verfügbarkeit von Ressourcen, Kapazitätsgrenzen oder gesetzliche Vorschriften.
Es gibt verschiedene Arten von Optimierungsmodellen, die unterschiedlichen Zwecken dienen. Die stochastische Optimierung ist ein Teilgebiet der mathematischen Optimierung, das sich mit Optimierungsproblemen befasst, die mit Ungewissheit oder Zufälligkeit verbunden sind. Bei der stochastischen Optimierung werden die Zielfunktion und/oder die Nebenbedingungen durch probabilistische oder zufällige Variablen beeinflusst, was den Optimierungsprozess komplexer macht als die traditionelle deterministische Optimierung.
Die nichtlineare Optimierungsmodellierung behandelt mathematische Optimierungsprobleme, bei denen entweder die Zielfunktion, die Einschränkungen oder beides nichtlineare Funktionen der Entscheidungsvariablen enthalten.
Die unbeschränkte Optimierungsmodellierung ist eine Art mathematischer Optimierung, bei der das Ziel darin besteht, das Maximum oder Minimum einer Zielfunktion ohne Einschränkungen für die Entscheidungsvariablen zu finden.
In der Optimierungsmodellierung ist eine Heuristik ein Problemlösungsansatz oder eine Technik, die darauf abzielt, Näherungslösungen für komplexe Optimierungsprobleme zu finden, insbesondere wenn das Finden einer exakten optimalen Lösung innerhalb eines angemessenen Zeitrahmens rechnerisch nicht durchführbar ist. Heuristiken beinhalten häufig Kompromisse zwischen Lösungsqualität und Rechenzeit.
Betrachten wir ein hypothetisches Szenario, in dem ein Lieferunternehmen, „RapidLogistics“, seine Lieferrouten für eine Fahrzeugflotte optimieren möchte, um die Kraftstoffkosten zu minimieren und gleichzeitig eine pünktliche Lieferung zu gewährleisten. Nachfolgend wird erläutert, wie die Optimierungsmodellierung Schritt für Schritt auf dieses Szenario angewendet werden kann:
Verstehen Sie zunächst das Problem, das Sie lösen möchten, und artikulieren Sie die Ziele klar. Legen Sie die Variablen fest, die Sie steuern oder anpassen können, um Ihre Ziele zu erreichen. Erstellen Sie einen mathematischen Ausdruck, der darstellt, was Sie in Bezug auf die Entscheidungsvariablen maximieren (z. B. Gewinn, Effizienz) oder minimieren (z. B. Kosten, Verschwendung) möchten.
RapidLogistics möchte die Kraftstoffkosten minimieren und gleichzeitig Pakete an verschiedene Kunden innerhalb einer Stadt liefern. Die Entscheidungsvariablen sind die Strecken, die jedes Fahrzeug zurücklegt, und das Ziel besteht darin, den Kraftstoffverbrauch zu minimieren.
Führen Sie alle Einschränkungen auf, die die Werte oder Beziehungen der Entscheidungsvariablen einschränken. Dies können Ressourcenbeschränkungen, Kapazitätsgrenzen oder behördliche Anforderungen sein. Drücken Sie jede Einschränkung als mathematische Gleichung oder Ungleichung mit den Entscheidungsvariablen aus.
Für RapidLogistics gehören zu den Einschränkungen:
Zeitfenster: Jeder Kunde hat ein bestimmtes Zeitfenster, in dem Lieferungen erfolgen können.
Fahrzeugkapazität: Jedes Fahrzeug hat ein maximales Gewicht und eine maximale Volumenkapazität für Pakete.
Zwingender Besuch aller Kunden: Jeder Kunde muss genau einmal besucht werden.
Tanklimit: Die Gesamttankkapazität aller Fahrzeuge zusammen ist begrenzt.
Entscheiden Sie, ob Ihr Problem als lineare Programmierung (oder lineare Optimierung), nichtlineare Programmierung, Ganzzahlprogrammierung, quadratische Programmierung oder eine andere Art der mathematischen Programmierung dargestellt werden kann. Diese Wahl hängt von der Art Ihrer Zielfunktion und den Einschränkungen ab. Beispielsweise sind lineare Einschränkungen eine grundlegende Komponente der linearen Optimierungsmodellierung.
Unser Problem kann als Problem der gemischt-ganzzahligen linearen Programmierung (MILP) dargestellt werden. Die Zielfunktion ist die Minimierung des Gesamtkraftstoffverbrauchs, der eine lineare Funktion der Entscheidungsvariablen ist. Die Einschränkungen in Bezug auf Zeitfenster und Fahrzeugkapazität können linearisiert werden.
Erfassen Sie alle erforderlichen Daten, einschließlich Parameterwerte für die Zielfunktion und Einschränkungen, z. B. Kosten, Koeffizienten und Grenzen für Entscheidungsvariablen.
RapidLogistics muss Daten zu Kundenstandorten, Zeitfenstern, Verpackungsgrößen, Kraftstoffverbrauch, Fahrzeugkapazitäten und dem Kraftstofflimit für alle Fahrzeuge erfassen.
Kombinieren Sie die Zielfunktion und die Einschränkungen zu einem vollständigen mathematischen Modell, das Ihr Optimierungsproblem darstellt.
Im Fall von RapidLogistics könnte die Zielfunktion darin bestehen, die Summe des Kraftstoffverbrauchs für alle Fahrzeuge zu minimieren, und die Entscheidungsvariablen sind binäre Variablen, die angeben, ob ein Fahrzeug zu einem Kunden fährt oder nicht.
Wählen Sie die geeignete Optimierungssoftware (manchmal auch „Solver“ genannt) oder Programmiersprache aus, die den von Ihnen verwendeten Modelltyp unterstützt. Geben Sie das mathematische Modell und die Daten in die gewählte Optimierungssoftware oder das Tool ein, und verwenden Sie es, um die optimale Lösung zu finden. Moderne Software setzt in der Regel verschiedene maschinelle Lerntechniken und Optimierungsalgorithmen ein, um die beste Lösung in der durchführbaren Region zu finden.
RapidLogistics könnte ein Optimierungswerkzeug oder eine Software auswählen, die die gemischt-ganzzahlige lineare Programmierung unterstützt, wie z. B. Gurobi, CPLEX oder Open-Source-Bibliotheken wie PuLP in Python.
Überprüfen Sie die Werte der Entscheidungsvariablen, um die empfohlene Vorgehensweise zu verstehen. Legen Sie den Wert der Zielfunktion bei der optimalen Lösung fest, die das bestmögliche Ergebnis darstellt.
Dieser Prozess hilft RapidLogistics, bestimmte Routen zu finden, die effizienter sind als andere, was zu Kosteneinsparungen führt. Das Unternehmen kann nun optimierte Lieferrouten implementieren und Fahrzeugzuweisungen und Zeitpläne entsprechend aktualisieren. Es kann außerdem die Leistung der optimierten Routen regelmäßig überwachen und bei Bedarf Anpassungen vornehmen, um sich an veränderte Bedingungen wie neue Kunden oder aktuelle Kraftstoffkosten anzupassen.
Wir haben bereits einen Anwendungsfall in der Logistik vorgestellt. Hier sind einige weitere häufige Bereiche, in denen Optimierungsmodelle Entscheidungsträgern helfen können:
Optimierungsmodelle können Produktionspläne und Lieferketten bis hin zu einzelnen Geräteteilen optimieren. Modelle können Qualitätssicherungsprozesse optimieren, um Mängel zu reduzieren und gleichzeitig die Inspektionskosten zu minimieren.
Anleger verwenden Optimierungsmodelle, um Portfolios zu erstellen, die die Maximierung der Renditen bei gleichzeitigem Risikomanagement unterstützen. Finanzinstitute nutzen sie, um den Preis von Optionen und Derivaten genau zu bestimmen, und Kreditbewertungsmodelle können Kreditentscheidungen optimieren, indem sie ein Gleichgewicht zwischen Risiko und Ertrag herstellen.
Versorgungsunternehmen optimieren die Verteilung von Strom oder Gas, um Verluste zu minimieren und die Zuverlässigkeit zu verbessern. Unternehmen für erneuerbare Energien können die Optimierung nutzen, um die kosteneffizienteste Platzierung von Windturbinen oder Solarzellen zu ermitteln.
Krankenhäuser können die Dienstplanung für medizinisches Personal optimieren, um eine angemessene Personalausstattung zu gewährleisten und gleichzeitig die Kosten zu minimieren. Pharmaunternehmen nutzen die Optimierung, um optimale Arzneimittelformulierungen zu entwickeln und dabei Wirksamkeit und Kosten in Einklang zu bringen.
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