La modélisation d’optimisation est une approche mathématique utilisée pour trouver la meilleure solution à un problème à partir d’un ensemble de choix possibles, en tenant compte des contraintes et des objectifs spécifiques. Il s’agit d’un outil puissant utilisé dans divers domaines, notamment la recherche opérationnelle, l’ingénierie, l’économie, la finance, la logistique et plus encore. En optimisant l’allocation des ressources, les processus de production ou la logistique, la modélisation de l’optimisation mathématique peut réduire les coûts et améliorer l’efficacité opérationnelle entre les workflows.
De plus, la modélisation d’optimisation améliore la planification stratégique et la prise de décision à long terme. Elle permet aux organisations d’évaluer divers scénarios et alternatives, en les aidant à comprendre les conséquences potentielles des différents choix avant leur mise en œuvre. Cela peut être particulièrement utile dans des secteurs comme la finance, où l’optimisation des portefeuilles peut conduire à de meilleures stratégies d’investissement.
L’optimisation des décisions peut jouer un rôle critique en aidant les entreprises à prendre les mesures appropriées pour dynamiser la valeur métier.
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Les modèles d’optimisation sont conçus pour favoriser les prises de décision collectives ou individuelles, en maximisant ou en minimisant une fonction objective tout en respectant des contraintes spécifiques.
Les fonctions objectives sont les expressions mathématiques qui définissent ce que vous souhaitez maximiser (par exemple, les bénéfices, les recettes, l'efficacité) ou minimiser (par exemple, les coûts, les déchets, le temps). La fonction objective est au cœur du problème d’optimisation.
Les variables de décision sont les éléments que vous pouvez contrôler ou ajuster pour influencer le résultat, généralement représentées par des symboles et soumises à certaines contraintes. Ces contraintes sont des expressions mathématiques qui limitent les valeurs ou les relations entre les variables de décision. Les contraintes représentent des limitations réelles, telles que la disponibilité des ressources, les limites de capacité ou les exigences réglementaires.
Différents types de modélisation d’optimisation servent différents objectifs. L’optimisation stochastique est une branche d’optimisation mathématique qui traite de questions impliquant des variables inconnues ou aléatoires. Dans l’optimisation stochastique, la fonction objectif et/ou les contraintes sont influencées par les variables probabilistes ou aléatoires. De ce fait, le processus d’optimisation est plus complexe que l’optimisation déterministe traditionnelle.
La modélisation d’optimisation non linéaire traite des problèmes d’optimisation mathématique où la fonction objectif, les contraintes ou les deux contiennent des fonctions non linéaires des variables de décision.
La modélisation d’optimisation sans contrainte est un type d’optimisation mathématique où l’objectif est de trouver le maximum ou le minimum d’une fonction objective sans aucune contrainte sur les variables de décision.
Dans la modélisation de l’optimisation, une heuristique est une approche ou une technique de résolution de problèmes qui vise à trouver des solutions approximatives aux problèmes d’optimisation complexes, en particulier lorsque la recherche d’une solution optimale est irréalisable dans un délai raisonnable. Les heuristiques impliquent souvent des compromis entre la qualité des solutions et le temps de calcul.
Considérons un scénario hypothétique où une société de livraison, « RapidLogistics », souhaite optimiser ses itinéraires de livraison pour une flotte de véhicules afin de minimiser les coûts de carburant, tout en assurant des livraisons en temps opportun. Voici comment appliquer la modélisation d’optimisation à ce scénario, étape par étape :
Il s'agit d'abord de comprendre le problème que vous souhaitez résoudre et d'énoncer clairement ses objectifs. Déterminez ensuite les variables que vous pouvez contrôler ou ajuster pour atteindre vos objectifs. Enfin, créez une expression mathématique qui représente ce que vous souhaitez maximiser (par exemple, le bénéfice, l'efficacité) ou minimiser (par exemple, les coûts, le gaspillage) en termes de variables de décision.
RapidLogistics souhaite minimiser les coûts de carburant tout en livrant des colis à divers clients de sa ville. Les variables de décision sont les itinéraires que prend chaque véhicule, et l’objectif est de minimiser la consommation de carburant.
Répertoriez toutes les contraintes qui limitent les valeurs ou les relations des variables de décision. Il peut s’agir de contraintes de ressources, de limites de capacité ou d’exigences réglementaires. Exprimez chaque contrainte comme une équation mathématique ou une inégalité impliquant les variables de décision.
Pour RapidLogistics, les contraintes sont les suivantes :
Fenêtres horaires : chaque client a une fenêtre horaire précise pendant laquelle les livraisons peuvent être effectuées.
Capacité du véhicule : chaque véhicule a une capacité de poids et de volume maximale pour le transport des colis.
Visite unique de l'ensemble des clients : exactement une visite par client.
Limite de carburant : la capacité totale de l'ensemble des véhicules est limitée.
Décidez si votre problème peut être représenté en tant que programmation linéaire (ou optimisation linéaire), programmation non linéaire, programmation linéaire en nombres entiers, programmation quadratique ou un autre type de programmation mathématique. Ce choix dépend de la nature de votre fonction objective et de vos contraintes. Par exemple, les contraintes linéaires sont un composant fondamental de la modélisation de l’optimisation linéaire.
Notre type de problème peut être représenté comme un problème de programmation linéaire mixte en nombres entiers (PLMNE). La fonction objective consiste à minimiser la consommation totale de carburant, qui est une fonction linéaire des variables de décision. Les contraintes liées aux fenêtres horaires et à la capacité du véhicule peuvent être alignées.
Collectez toutes les données indispensables, y compris les valeurs de paramètre pour la fonction objective et les contraintes, telles que les coûts, les coefficients et les limites des variables de décision.
RapidLogistics doit recueillir des données sur les adresses des clients, leurs fenêtres horaires, la taille de leurs colis, les taux de consommation de carburant des véhicules, les capacités des véhicules et la limite de carburant pour l'ensemble des véhicules.
Il convient de créer un modèle mathématique complet, englobant la fonction objective et les contraintes, qui incarne votre problème d’optimisation.
Dans le cas de RapidLogistics, la fonction objective peut consister à minimiser la consommation totale de carburant de l'ensemble des véhicules, et les variables de décision sont des variables binaires indiquant si un véhicule se rend chez un client ou non.
Choisissez le logiciel d’optimisation approprié (parfois appelé « solveur ») ou le langage de programmation capable de prendre en charge le type de modèle que vous utilisez. Il faut ensuite intégrer le modèle mathématique et les données dans le logiciel ou l’outil d’optimisation qui identifiera la solution optimale. Les logiciels modernes utiliseront généralement diverses techniques de machine learning et des algorithmes d’optimisation pour trouver la meilleure solution applicable dans la région.
RapidLogistics peut souhaiter sélectionner un outil d’optimisation ou un logiciel prenant en charge la programmation linéaire mixte en nombres entiers , comme Gurobi, CPLEX ou des bibliothèques open source comme PuLP en Python.
Examinez les valeurs des variables de décision pour comprendre le processus recommandé. Déterminez la valeur de la fonction objective représentant le meilleur résultat possible au regard de la solution optimale.
Ce processus aide RapidLogistics à découvrir certains itinéraires plus efficaces que d’autres, et lui permet de réaliser des économies. Il peut désormais optimiser ses itinéraires de livraison et mettre à jour les affectations et les horaires des véhicules en conséquence. L’entreprise peut surveiller en continu l'optimisation des performances des itinéraires et effectuer des ajustements pour s’adapter à de nouveaux événements, tels que les nouveaux clients ou les variations des prix du carburant.
Nous avons examiné un cas d’utilisation dans le secteur de la logistique. Voici quelques autres domaines courants dans lesquels la modélisation d’optimisation peut aider les décideurs :
Les modèles d’optimisation peuvent optimiser les calendriers de production et les chaînes d'approvisionnement, y compris pour chaque équipement individuel. Les modèles peuvent optimiser les processus de contrôle qualité pour réduire les vices de fabrication tout en minimisant les coûts d’inspection.
Les investisseurs utilisent des modèles d’optimisation pour construire des portefeuilles qui favorisent la maximisation des rendements tout en gérant les risques. Les institutions financières les utilisent pour évaluer les options de prix et les produits dérivés. Les modèles de notation de crédit peuvent optimiser les décisions de prêt, en équilibrant risques et rendements.
Les services publics optimisent la distribution de l’électricité ou du gaz pour minimiser les pertes et améliorer la fiabilité. Les entreprises d’énergie renouvelable peuvent utiliser l’optimisation pour déterminer le placement le plus rentable des éoliennes ou des panneaux solaires.
Les hôpitaux peuvent optimiser les problèmes de planification des infirmières et des médecins pour assurer un personnel adéquat tout en minimisant les coûts. Les entreprises pharmaceutiques utilisent l’optimisation pour développer des formulations de médicaments garantissant un équilibre entre l'efficacité et les coûts.
Représentez mathématiquement les problèmes de l’entreprise pour créer des applications analytiques efficaces d’aide à la décision.
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