Modele prognozowania

Modele wygładzania wykładniczego są popularną klasą modeli szeregów czasowych.

Modele wygładzania wykładniczego mają zastosowanie do pojedynczego zestawu wartości, które są rejestrowane tylko w równych odstępach czasu. Obsługują one jednak właściwości danych, które są często spotykane w zastosowaniach biznesowych, takie jak trendy, sezonowości i zależność od czasu. Wszystkie określone funkcje modelu są szacowane na podstawie dostępnych obserwowanych danych. Następnie model po szacowaniu może być używany w celu prognozowania przyszłych wartości i zapewniania górnych oraz dolnych granic ufności dla wartości prognozy.

Każdy typ modelu jest odpowiedni do modelowania innej kombinacji właściwości, które znajdują się w danych. Typ modelu, który może zapewnić najlepsze dopasowanie do obserwowanych danych, jest wybierany do modelowania obserwowanych danych i do prognozowania przyszłych wartości.

Algorytmy szacowania modelu

Modele są określane za pomocą równań wygładzających, które zawierają parametry modelu i początkowe stany wygładzania. Parametry modelu są szacowane za pomocą wartości, które minimalizują błąd modelu.

Równania wygładzające

Nazwy modeli wygładzania wykładniczego pochodzą od równań wygładzających, które określają model. Udostępniają one formuły do obliczania stanów wygładzania dla każdego obserwowanego punktu przy użyciu bieżącej wartości obserwowanej oraz poprzednich stanów wygładzania. Równania wygładzające zapewniają średnie ważone wartości bieżącej oraz poprzednich stanów w szeregu czasowym. Waga bieżącej wartości lub bieżącego stanu jest określana przez parametr modelu z zakresu od 0 do 1, przy czym wagi dla poprzednich wartości zmniejszają się wykładniczo.

Równania wygładzania poziomu

Wszystkie typy modeli obliczają stan poziomu dla każdego punktu szeregu czasowego, używając odpowiedniego równania wygładzania poziomu. Stany poziomu dla modelu bez trendu i składników z sezonowością są obliczane jako średnia ważona wartości szeregu czasowego w bieżącym punkcie i stanu poziomu w poprzednim punkcie. Waga powiązana z bieżącą wartością jest parametrem alpha, którego wartość jest ograniczona od 0 do 1. W przypadku innych modeli poprzedni trend i stany z sezonowością są również uwzględniane w równaniu wygładzania poziomu.

Równania wygładzania trendu

Typy modeli z trendem addytywnym lub tłumionym addytywnym obliczają stan trendu dla każdego punktu szeregu czasowego, używając odpowiedniego równania wygładzania trendu. Stan trendu dla bieżącego punktu jest oparty na różnicy stanów poziomów na bieżącym i poprzednim punkcie oraz na stanie trendu w poprzednim punkcie. Waga powiązana z różnicą stanów poziomu w bieżącym i poprzednim punkcie jest parametrem o nazwie beta, którego wartość jest ograniczona do zakresu od 0 do 1. Dodatkowy parametr phi jest dodawany do równań wygładzania trendu tłumionego. Przez Phi mnoży się udział stanu trendu z poprzedniego punktu, a wartość tego parametru jest również ograniczona do przedziału od 0 do 1. Celem tego parametru jest oszacowanie stopnia tłumienia trendu z jednego punktu do następnego.

Równania wygładzające z sezonowością

Typy modeli, które obsługują sezonowość addytywną lub multiplikatywną, obliczają stan z sezonowością dla każdego punktu szeregu czasowego. Stany z sezonowością są obliczane za pomocą równań wygładzania sezonowego. Stan z sezonowością dla bieżącego punktu obejmuje różnicę wartości szeregu czasowego oraz stan bieżącego poziomu dla sezonowości addytywnej lub stosunek dwóch tych samych wartości dla sezonowości multiplikatywnej. Waga, która jest powiązana z tym terminem, to parametr gamma, którego wartość jest ograniczona do zakresu od 0 do 1. Pozostała część udziału pochodzi z odpowiedniego stanu z sezonowością w poprzednim okresie z sezonowością. Należy zauważyć, że okres z sezonowością ma ustaloną długość i podczas gdy stan z sezonowością może ulegać zmianie dla każdego punktu, tylko dopasowane indeksy z sezonowością z różnych okresów są uwzględniane razem w równaniach wygładzania sezonowego.

Początkowe stany wygładzania

Wartości muszą zostać określone dla poziomu, trendu i stanów z sezonowością w odniesieniu do punktów, które poprzedzają szereg czasowy. Wartości są potrzebne dla równań wygładzających. Aby można było obliczyć różne stany w pierwszym punkcie szeregu czasowego, wymagane są wartości stanu w odpowiednich punktach poprzednich.

Parametry modelu

Każde równanie wygładzające używa odpowiednich parametrów modelu:

alpha: Kontroluje stany poziomu.
beta: Kontroluje stany trendu.
gamma: Kontroluje indeksy z sezonowością w okresach z sezonowością.
phi: Dodatkowy parametr, który jest używany do określania trendu tłumionego.

Wszystkie cztery parametry mają wartości z zakresu od 0 do 1. Wyższe wartości alpha, beta i gamma oznaczają, że najnowsze obserwacje mają wyższe wagi, a niższe wartości oznaczają wyższe wagi dla starszych obserwacji. Wyższa wartość phi odpowiada wyższemu stopniowi tłumienia trendu prognozy.

Oszacowanie modelu

Parametry modelu w równaniach wygładzania są szacowane na podstawie danych szeregu czasowego. Parametry nie mogą być szacowane bezpośrednio za pomocą formuły. Są one szacowane przez proces iteracyjny wyszukujący takie wartości parametrów, które minimalizują błąd modelu. Błąd modelu jest obliczany jako średni bezwzględny błąd skalowany (MASE). Iteracje są zatrzymane, gdy nie można osiągnąć dalszego zmniejszenia błędu modelu. Odpowiadające wartości parametru razem z początkowymi stanami wygładzania w pełni określają szacowany model. Są one używane do obliczania stanów modelu dla wszystkich innych punktów danych i generowania prognoz modelu za pomocą odpowiedniego równania prognozowania.